拓扑线性空间的若干基本定理

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在泛函分析中几个基本重要的定理：一致有界原理，开映射定理，闭图像定理等都可以相应的推广到拓扑线性空间中。以下内容来自刘培德《拓扑线性空间与算子谱理论》第二章。

设 $X,Y$ 是拓扑线性空间，记$L(X,Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性算子全体，而$\mathscr{L}(X,Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的连续线性算子全体。$N_X(x)$ 表示 $x \in X$ 的邻域全体。除非特别声明，以下$X,Y$都是拓扑线性空间

等度连续和一致有界

等度连续: 称算子族 $\mathscr{H} \subset L(X,Y)$ 是等度连续的，若 $\forall U \in N_Y(0), V \in N_X(0)$ 使得
$$T(V) \subset U, \; \forall T \in \mathscr{H} \; \Leftrightarrow \; \cup_{T \in \mathscr{H} } T(V) \subset U$$

一致有界: 称算子族 $\mathscr{H} \subset L(X,Y)$ 是一致有界的，若对 $X$ 中任一有界集 $E$ , $\cup_{T \in \mathscr{H}} T(E)$ 是有界.

定理1 设 $\mathscr{H}$ 是 $L(X,Y)$ 中的一族算子。

  1. 若 $\mathscr{H}$ 是等度连续的，则 $\mathscr{H}$ 是一致有界的。
  2. 若 $X$ 是可度量化的，$\mathscr{H}$ 是一致有界的，则 $\mathscr{H}$ 是等度连续的

证明：

  1. 若 $\mathscr{H}$ 是等度连续的，则$\forall U \in N_Y(0), \exists V \in N_X(0)$ 使得 $T(V) \subset U, \; \forall T \in \mathscr{H}$ .对 $X$ 中任一有界集 $E$，则 $\exists t > 0$ 使得 $s>t$ 时，$E \subset sV$,于是$$T(E) \subset T(sV) = sT(V) \subset sU , \; \forall T \in \mathscr{H}$$ 从而 $\cup _ {T \in \mathscr{H} } T(V) \subset U$ , $\mathscr{H}$ 是一致有界的。
  2. 反证，设 $U \in N_Y(0)$ ,若不存在 $V$ 使得 $\cup_{T \in \mathscr{H} } T(V) \subset U$ ,则可取 $T_n \in \mathscr{H},x_n \in X, x_n \to 0$ 但 $Tx_n \notin U$.由于 $d(x_n,0) \to 0$ ,存在 $r_n \to \infty$ 使得 $r_n x_n \to 0$ . $r_n x_n$ 是有界的，从而 $\cup_{T \in \mathscr{H}} T(r_n x_n)$ 有界。但是
    $$ r_n ^{-1} T(r_n x_n) = T(x_n) \notin U $$
    矛盾与有界性的等价条件。

一致有界性原理

定理2 设 $\mathscr{H} \subset \mathscr{L}(X,Y)$ , 记$E$为使 $\lbrace Tx:T \in \mathscr{H} \rbrace$ 的点 $x$ 全体。若 $E$ 是第二纲集，则 $\mathscr{H}$ 等度连续，此时必有 $E=X$.

证明：设 $W \in N_Y(0)$ ，取0点的平衡邻域 $U$ 使得 $ \overline{U} + \overline{U} \subset W$ 。记 $B = \cap_{T \in \mathscr{H} } T^{-1} (\overline{U})$，有 $T$ 的连续性知 $B$ 是闭集。$\forall x \in E, \lbrace Tx, T \in mathscr{H} \rbrace$ 有界。因此，$\exists n$ 使得 $Tx \in nU \forall T \in \mathscr{H} $，即 $\frac{x}{n} \in T^{-1} (U) \in T^{-1} (\overline{U})$ 。于是 $x \in nB,E \subset \cup_{n=1}^{\infty} nB$。$E$ 是第二纲集，因此有某个 $(nB)^{o} \neq \emptyset $,从而 $(B)^{o} \neq \emptyset $.
设 $x \in B^{o}$,记 $V = x-B^{o}$ ,则 $V \in N_X(0)$.注意到 $T(B) \in \overline{U} ,\forall T \in \mathscr{H} $。因此
$$ T(V) \subset Tx - T(B) \subset \overline{U} - \overline{U} \in W ,\forall T \in \mathscr{H} $$
这说明 $\mathscr{H}$ 是等度连续的。
由定理1知，此时 $\mathscr{H}$ 是一致有界的，又单点集 ${x}$ 有界，因此 $\lbrace Tx:T \in \mathscr{H} \rbrace$ 有界，所以 $E=X$。

定理3 (Banach-Steinhaus) 设 $ T_n\in \mathscr{L}(X,Y)$ , 记$E$为使 $\lim_{n \to \infty} T_n x $ 存在的 $x$ 全体。若 $E$ 是第二纲集，则$E=X$.
证明：由于收敛序列是有界的，因此根据定理2，上述结论显然。

开映射定理

从 $X$ 到 $Y$ 的线性算子称为开算子，如果它把 $X$ 中的每一个开集映成 $Y$ 中的开集。

定理4 (开映射定理) 若 $X,Y$ 是 $F$ 空间(完备的赋准范空间)，$T \in \mathscr{L}(X,Y),T(X)$ 是 $Y$ 中的第二纲集，则 $T$ 是开算子，且此时$Y=T(X)$。

为证明开映射定理，先证明三个引理。

引理1 设 $T:X \to Y$ 是线性算子，则 $T$ 是开映射，当且仅当 $\forall V \in N_X(0)$,$0 \in Y$ 是 $T(V)$ 的内点。

证明：若$T$ 是开算子，$V \in N_X(0)$,则 $T(V)$开，又 $T0=0$ ,故 $0 \in Y$ 是 $T(V)$ 的内点。
反之，若 $T$ 将0点的邻域映成以0为内点的集合。则对每个开集 $B \subset X$ ,$B$ 可以写成 $B = \cup_{x \in B } (x+V_x) $ 于是
$$ T(B) = \cup_{x \in B} T(x+V_x) = \cup_{x \in B}(Tx - T(V_x)) $$
由于 $T(V_x)$ 是以0为内点，上式表明 $Tx$ 是 $T(B)$ 的内点,从而 $T(B)$ 是 $Y$ 中的开集。

引理2 设 $T:X \to Y$ 是线性算子，则 $T$ 是开映射，则 $T$ 是到上(满)的。

证明: 若 $T$ 是开映射，则 $\forall V \in X$, $T(V)$ 是 $Y$ 中的开集，$V,T(V)$都是吸收的，所以
$$ Y = \cup_{n=1}^{\infty} nT(V) = T(\cup_{n=1}^{\infty} nV) = T(X) $$

引理3 设 $T:X \to Y$ 是线性算子，若 $T(X)$ 是 $Y$ 中的第二纲集，则 $\forall U \in N_X(0),\exists B \in N_Y(0)$ 使得 $B \in \overline{T(U)}$

证明: $\forall U \in N_X(0)$ ,取 $\forall V \in N_X(0)$ 使得 $V$ 是平衡的且 $V-V \subset U$.
$$ T(X) = T(\cup_{n=1}^{\infty} nV) = \cup_{n=1}^{\infty} nT(V)$$ 是第二纲的，所以 $\exists n$ 使得 $\overline{nT(V)}^{o} \neq \emptyset$，因此 $\overline{T(V)}^{o} \neq \emptyset$. 于是存在开集 $B \in N_X(0)$ 使得
$$B \subset \overline{T(V)} - \overline{T(V)} \subset \overline{T(V-V)} \subset \overline{T(U)} $$

开映射定理证明: 设 $p,q$ 分别是 $X,Y$ 上的准范数，取
$$ U=\lbrace x \colon p(x)<r \rbrace ,\quad U_n = \lbrace x \colon q(x) < \frac{r}{2^n} \rbrace $$
由引理3知，存在$B_n \in N_Y(0)$ 使得 $B_n \subset \overline{T(U_n)}$.由引理1知，我们只需证明 $B_1 \subset U$.记
$$ O_n = \lbrace y \in Y \colon q(y) < \frac{1}{n} \rbrace $$
任取 $y_1 \in B_1 \subset \overline{T(U_1)}$, 于是 $\exists x_1 \in U_1$ 使得 $y_2 = y_1 - Tx_1 \in B_2 \cap O_2$,类似地做，$\exists x_n \in U_n$ 使得 $y_{n+1} = y_n - Tx_n \in B_{n+1} \cap O_{n+1}$
此时
$$ y_{n+1} = y_1 -T(\sum_{i=1}^n x_i)$$
由于
$$ p(\sum_{i=1}^n x_i) \leq \sum_{i=1}^n p(x_i) < \sum_{i=1}^n \frac{r}{2^n} < r $$
并且由于 $\lbrace \sum_{i=1}^n x_i \rbrace$ 是Cauchy列，$\exists x_0 \in X, \sum_{i=1}^n x_i \to x_0$ 并且 $p(x_0) < r$,从而 $x_0 \in U$。
注意到 $y_n \in O_n$, $y_n \to 0$。由 $T$ 的连续性
$$ 0 = \lim_{n \to \infty} y_{n+1} = y_1 - \lim_{n \to \infty} T(\sum_{i=1}^n x_i) = y_1 - Tx_0 $$
即 $y_1 = Tx_0 \in T(U)$,故$B \in T(U)$,证毕。

推论1 (Banach逆算子定理的推广) 从 $F$ 空间到　$F$ 空间上的每一个连续线性满算子 $T$ 的开算子，若 $T$ 还是一一的，则 $T$ 是同胚映射。
推论2 (范数等价定理的推广) 设 $X$ 上有两种拓扑 $\tau_1,\tau_2$,并且$\tau_1,\tau_2$ 都使 $X$ 成为 $F$ 空间，若$\tau_1,\tau_2$ 是可比较的，则$\tau_1 ＝ \tau_2$ 。

闭图像定理

设 $X,Y$ 是拓扑线性空间，$X \times Y$ 是乘积空间，$T \colon X \to Y$ 是线性算子，称 $T$ 是闭算子，若 $T$ 的图像 $\mathscr{G}(T) = \lbrace (x,Tx) \colon \forall x \in X \rbrace$ 是 $X \times Y$ 中的闭集。

定理5 设 $X,Y$ 是拓扑线性空间，$T \colon X \to Y$ 是线性算子

  1. 若 $T$ 是连续的，则 $T$ 是闭算子
  2. (闭图像定理)若 $T$ 是闭算子，并且 $X,Y$ 都是 $F$ 空间，则 $T$ 是连续的。

证明:

  1. 设$T \colon X \to Y$ 连续，$(x_{\lambda},\lambda \in \Lambda)$ 是 $X$ 中的网，$x_{\lambda} \to x ,Tx_{\lambda} \to y$,则
    $$ y = \lim_{\lambda \in \Lambda} Tx_{\lambda} = T(\lim_{\lambda \in \Lambda} x_{\lambda}) = Tx$$
    因此 $(x,y) \in \mathscr{G}(T)$,因此 $T$ 是闭算子。
  2. 注意到此时 $X \times Y$ 也是 $F$ 空间，由于 $\mathscr{G}(T)$ 是 $X \times Y$ 的线性子空间，若 $\mathscr{G}(T)$ 在 $X \times Y$ 中闭，$\mathscr{G}(T)$ 也是 $F$ 空间。由乘积拓扑的定义，两投影
    $$ \pi_1 \colon \mathscr{G}(T) \to X, (x,Tx) \mapsto x, $$
    $$ \pi_2 \colon \mathscr{G}(T) \to X, (x,Tx) \mapsto Tx $$
    都是连续的。特别的 $\pi_1$ 是一一到上的，由推论1知，$\pi_1^{-1} \colon X \to \mathscr{G}(T)$ 连续，此时
    $$ Tx = \pi_2(x,Tx) = \pi_2 \circ \pi_1^{-1} x,\forall x \in X $$
    从而$T=\pi_2 \circ \pi_1^{-1}$
我发现我喜欢在此记录我学习的东西，反正这里也很少会有人来看，写出来很大的目的是让我自己走一遍过程，写总比看来的深刻。

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